Método de Mínimos Cuadrados

Cuando deseamos aproximaciones suaves, se necesitan algunos grados de libertad. Por ejemplo para ajustar una linea recta ( 2 parámetros) a 10 puntos, nos deja con 8 grados de libertad. Existe un numero infinito de lineas y se necesita un criterio para seleccionar una única linea. El criterio de los mínimos cuadrados es el mas popular. Este minimiza la suma de los cuadrados de las diferencias entre los valores observados y los valores calculados por el modelo. La linea de ajuste de mínimos cuadrados también se conoce como linea de regresión lineal.
Una palabra de atención: El método de mínimos cuadrados está muy afectados por datos de mala calidad. Por ejemplo, si un conjunto de datos tiene un punto cuyo valor cae muy afuera de la la tendencia de la linea del resto de datos, esto puede cambiar drásticamente la linea de regresión. Esto sucede porque elevamos al cuadrado la desviación de los datos con respecto a la linea. Por lo tanto un punto con una desviación extra grande contribuye una gran cantidad a la función objetivo. La linea de regresión por lo tanto se moverá bastante hacia el punto que causa la desviación y fuera de la tendencia principal para minimizar la desviación causada por el punto ofensor. Esto es de gran importancia en muchas aplicaciones e ingeniería y métodos especiales son usados para tratar de detectar los datos conflictivos y eliminarlos.

Regresión Lineal – Ajuste de Linea Recta

Supongamos que tenemos una serie de datos y que estos deberían ajustarse a una linea recta,  y=m \cdot x + b , si no fuese por errores de medición y experimentales. El problema es encontrar una linea recta caracterizada por los valores m y b que mejor ajusten los datos en el sentido de los mínimos cuadrados.

El modelo

y=m\cdot x + b

Las observaciones

(X_1, Y_1); (X_2, Y_2) \cdots (X_n, Y_n)

Las ecuaciones

m= \frac{n \sum_{i=1}^n X_iY_i - \sum_{i=1}^nX_i \cdot \sum_{i=1}^nY_i}{n \cdot \sum_{i=1}^nX_i^2 -( \sum_{i=1}^nX_i)^2}

b= \frac{\sum_{i=1}^nY_i - m \cdot \sum_{i=1}^nX_i}{n}

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