Raíces de una Ecuación Utilizando el Método de Falsa Posición o Método de Regula Falsi

Este es uno de los métodos más antiguos para encontrar una raíz real de una ecuación f(x)=0 y se asemeja bastante al método de bisección.

En este método se seleccionan dos puntos x0 y x1 de forma que f(x0) y f(x1) son de signos contrarios. Es decir, el grafico de la función y=f(x) cruza el eje x entre estos dos puntos.

regulagrafica0
Grafica con derivación de la ecuación para calcular el valor de x2

Aunque si ambos valores de la función en los puntos x0 y x1 no son de signo contrario es posible que el método converja a una solución si la raíz se encuentra en las cercanías de esos puntos.

El valor encontrado de x2 no es una raíz, sino una aproximación, que se encuentra en la intersección con el eje X de la recta que pasa por los puntos (x0 ,  f(x0))(x1 ,  f(x1)). Si ahora los valores de f(x0) y f(x2) son de signos opuestos, entonces la raíz cae entre los puntos x0 y x2, así que reemplazando x1 por x2 obtendremos la siguiente aproximación. El proceso se repite hasta que el valor de la aproximación se acerque a cero de acuerdo a un nivel de tolerancia establecida.

 

Encontrar la raíz real de la ecuación

regula1

Utilizando el método de la falsa posición (Regula falsi)

regula2

regulagrafica1
Grafica de la función con la recta secante a traves de los puntos x0=1 y x1=2.
regulagrafica2
Grafica ampliada mostrando la intersección de la recta con el eje X en el punto (x2,0) y el punto en la curva (x2, f(x2)).

 

 

Primera Aproximación (iteración 1)

Comenzamos evaluando la función en los valores x0=1 y x1=2

regula3

Ambos valores de f(x) son negativos.

regula4

La primera aproximación x2=2.2

Ahora calculamos que punto que está más cerca de la aproximación que hemos calculado.

Para eso comparamos los valores absolutos de la diferencia de cada punto con respecto a x2.

regula5

Si esta condición se cumple entonces hacemos:

x0=x1 y x1=x2

Es decir, si el valor de x1 está más de cerca de x2, entonces x0 toma el valor de x1 y x1 adopta el valor de x2 y se realiza una nueva iteración.

Segunda iteración

0.2<1.2

Entonces

x0=x1 y x1=x2

x0=2 y x1=2.2

regula6

 

 

x2-x1=0.111032

x2-x0=0.08896

Como el valor absoluto de  x2 – x1 no es menor que el valor absoluto de x2-x0

Entonces

Tercera Iteración

x0=x0 y x1=x2

regula7

 

Como el valor absoluto de  x2 – x1 es menor que el valor absoluto de x2-x0

Entonces

Cuarta Iteración

regula8

Como el valor absoluto de  x2 – x1 es menor que el valor absoluto de x2-x0

Entonces

 

Quinta Iteración

regula9

En resumen, tenemos que a través de sucesivas iteraciones nos acercamos más al valor de la raíz de f(x). Podemos continuar hasta alcanzar la diferencia requerida.

 

Iteración x0 x1 x2 F(x2)
1 1 2 2.2 1.2480
2 2 2.2 2.088968 -0.06212
3 2 2.088968 2.094861 0.00345
4 2.088968 2.094861 2.094550 -1.088E-05
5 2.094861 2.094550 2.094551 -1.898E-09

 

Un seudocódigo para un algoritmo que implementa el método de regula falsi se muestra a continuación

regula10
Seudocódigo para aplicación del método de la regula falsi.

Mientras que el valor de f(x2) sea mayor a la tolerancia establecida continuara en el ciclo iterativo. Una vez que se alcanza la tolerancia establecida el valor de x2 representa la mejor aproximación a la raíz.

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