Método de Lagrange para Interpolación

Procedimiento para Interpolación Utilizando Método de Lagrange

Este método está diseñado para realizar interpolación para intervalos desiguales entre puntos. Su formulación es como sigue.

clip_image002

x y=f(x)
x0 y0
x1 y1
x2 y2
x3 y3
….. ….
xn-1 yn-1
xn yn

Esto puede ser expresado como

clip_image003

Por ejemplo, para el índice 0

clip_image004

Para ver como se aplica el método de Lagrange utilizaremos un set de puntos con coordenadas (x, y) para realizar interpolaciones.

x y=f(x)
5 150
7 392
11 1452
13 2366
17 5202

Aproximación lineal, n=1

Ahora supongamos que deseamos utilizar una aproximación lineal n=1

clip_image006

Ahora queremos utilizar esta fórmula para encontrar el valor para x=9

El valor de 9 está entre los valores de x=7 y x=11. Entonces seleccionamos estos dos valores como x0 y x1 respectivamente así que.

x y=f(x)
xo= 7 yo=392
x1= 11 y1=1452

clip_image007

Aproximación Cuadrática, n=2

Ahora utilicemos tres puntos en lugar de 2 y hagamos una interpolación cuadrática.

clip_image009

Como 9 está entre 7 y 11, utilizaremos los puntos (7, 392), (11, 1452) y (13, 2366) como los puntos de interpolación.

Puntos x0=11, y0=392; x1=11, y1=1452 y x2=13, y2=2366 y aplicamos la fórmula para f2(x)

clip_image011

Se ha obtenido el valor para una aproximación cuartica f4(9)=810, la cual está más cerca de la aproximación cuadrática, n=2, que de la aproximación lineal, n=1.

Se observa que los estimados de la interpolación cuadrática y cuartica son menores que la interpolación lineal, lo cual puede observarse en la gráfica. Por lo general las interpolaciones de mayor grado proporcionan un mejor valor de interpolación.

clip_image012

El punto anaranjado representa el valor de la interpolación lineal, el punto gris muestra sobrepuestos la aproximación cuadrática y cuartica.

En un artículo próximo mostraremos un seudocódigo para efectuar interpolación utilizando el método de Lagrange.

Referencias Bibliográficas

Grewal, B. (1998). Higher Engineering Mathematics. Delhi: Khana Publishers.

Kaw, A., & Keteltas, M. (2003). Lagrangian Method, Text Book Notes.

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1 comentario en “Método de Lagrange para Interpolación”

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