Dividiendo Números Enteros con Puntos

 

Dividir es una operación que implica distribuir equitativamente una cantidad (dividendo) entre un número de contenedores (divisor), donde el resultado (cociente) es igual a la cantidad que le responde a cada contenedor. Si estamos hablando de la división en termino de números enteros, esta puede ser exacta, es decir, tiene residuo igual a cero, o puede ser inexacta, tiene residuo igual a un número entero mayor que cero y menor que el divisor.

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El dividendo, la cantidad que queremos repartir equitativamente puede representar cualquier cosa, puntos, monedas, caramelos, manzanas, granos, etc.

El divisor es el número de elementos, contenedores a los cuales les queremos distribuir el dividendo. El divisor puede representar, personas, vasijas, contenedores, etc.

El cociente es la cantidad igual que le toca a cada uno de los elementos del divisor. Representa igual que el dividendo, si el dividendo son manzanas, entonces el cociente representa el número de manzanas que le corresponde a cada uno de los elementos del divisor.

Podemos visualizar una división como una repartición, como la que se ven en las películas de piratas cuando dividían un tesoro o como en las películas de gánsteres cuando dividían el botín; pero claro sin las trampas de uno para ti y dos para mí. En una división la repartición es equitativa, igual para cada uno. Así que podemos simular una división haciendo una repartición del dividiendo elemento por elemento a cada uno de los miembros del divisor hasta que el resto sea igual a cero o exista un resto menor que el divisor.

Una forma es utilizando puntos. Colocamos el divisor como un grupo de líneas igual al divisor, así si el divisor es 3 colocamos 3 líneas.

Luego vamos distribuyendo por rondas, colocando una raya vertical que cruce a las rayas horizontales para representar una ronda. En la intersección colocamos un punto.

Se colocan rayas verticales adicionales (rondas) y se continua hasta que se hayan distribuido todos los puntos que representan el dividendo. Si al final no se tienen suficientes puntos para completar una ronda, este remanente de puntos es el residuo.

En la siguiente figura se muestra una división utilizando puntos.

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Los 24 puntos se distribuyeron entre 3, utilizando 8 rondas de 3 puntos, con lo que 24 / 3 =8. Si se estuviesen repartiendo 24 monedas, a cada uno le tocarían 8 monedas.

También podemos dividir restando, donde en cada ronda repartimos una cantidad igual al divisor y restamos la cantidad repartida del dividendo, el resultado es el resto. En la segunda ronda repartimos nuevamente una cantidad igual al divisor y la restamos del resto anterior hasta que el resto sea igual a cero, o sea un residuo menor que el divisor.

El resultado de la división será igual al número de rondas repartidas, en este caso 8.

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Raíces de Funciones, Métodos Analíticos

Métodos Analíticos

En los métodos analíticos existe una formula, o grupos de fórmulas, no iterativas que permiten el cálculo de las raíces de la función.

Función polinómica de grado 1, línea recta

En una función lineal f(x)=m*x + b existe una sola raíz, la cual puede obtenerse aplicando la siguiente formula:

f(x)=0=mx+b, tiene raíz igual a x = -b/m

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Función polinómica de segundo grado, Parábola  

Existe un método analítico para polinomios de segundo grado, que es la famosa ecuación cuadrática que la mayoría hemos estudiado en el colegio. 

En la siguiente figura se presenta el método analítico para encontrar la solución de funciones polinómicas de segundo grado.

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Función polinómica de tercer grado, Cubica.

Para polinomios de tercer grado también existe un método analítico, el cual es un poco más complicado que el utilizado para polinomios de segundo grado, sin embargo, todavía es manejable. En las siguientes figuras se presentan las ecuaciones que se utilizan.

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En la literatura se pueden conseguir diferentes conjuntos de ecuaciones para resolver las raíces de las ecuaciones cubicas, aquí les muestro las que me parecen más sencillas de manejar. Aunque a decir verdad todas funcionan muy bien, solamente son variaciones algebraicas de las mismas formulas.

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Dependiendo de los valores de la variable D, tenemos tres casos. Caso 1 D = 0, Caso 2 D > 0 y Caso 3 D <0.

En el caso 1: D=0, se tienen tres raíces reales, al menos dos son iguales.

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En el caso 2: D>0, se tiene 1 raíz real y dos raíces complejas.

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En el caso 3: D <0, se tienen 3 raíces reales diferentes.

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Para polinomios de orden superiores existen métodos analíticos muy complejos, que los hace poco prácticos de utilizar.

 

Bibliografía

Brito, L.: Métodos Numéricos Raíces de Funciones: Como calcular raíces de funciones utilizando métodos numéricos (Spanish Edition), Amazon,

https://www.amazon.com/dp/B01N9V29HM

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Raíces de Funciones, Métodos Gráficos

 

Métodos Gráficos

Este método es muy simple de implementar y resulta muy intuitivo de comprender. Simplemente hay que construir la gráfica de la función y directamente mediante inspección se puede determinar el punto de corte de la gráfica de la función f(x) con el eje X. El inconveniente es que este valor dependerá de la apreciación de la gráfica, dependiendo del tamaño de la escala se obtendrá una aproximación.

Este método se puede utilizar como un paso previo a la utilización de un método numérico, para tener una imagen completa de como se comporta la función y optimizar el uso de otros métodos más precisos.

En la siguiente figura se muestra la gráfica de una función derivada de una ecuación. Se han calculado los valores de la función entre 0 y 2.25. De los valores calculados se observa que existe un cambio de signo entre x= 1.25 (-) y x= 1.50 (+). Inspeccionando la gráfica de la función se observa que el punto de intersección esta alrededor de 1.4.

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Otra forma de proceder es utilizar cada lado de la ecuación y crear dos funciones. En un lado de la ecuación podemos dejar el termino en x y la constante. Así en lugar de escribir f(x)=0, escribimos g(x)=h(x), y graficamos ambas funciones en el mismo gráfico, y observamos la intersección de ambas funciones. Este valor corresponde con la raíz de la función f(x).

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Aquí en esta figura hemos hecho una ampliación y podemos observar que la raíz de la función f(x), la cual corresponde a la intersección de las curvas de las funciones g(x) y h(x) está alrededor de 1.44.

En resumen, el método gráfico es muy sencillo de aplicar, sin embargo, es de muy poca utilidad práctica, debido a que no permite su automatización.

Metodología

1.- Si se tiene una ecuación expresarla como una función f(x). Para eso se tienen que agrupar todos los elementos en un solo lado de la ecuación. Esta expresión es igual a la función.

2.- Seleccionar varios valores de x y calcular el valor de la función. Hacer el grafico de f(x) y examinar su comportamiento. Seleccionar puntos adicionales, si se requieren, para obtener un cruce de la curva de la función f(x) con eje X.

3.- Observar la gráfica y determinar el valor de la raíz en la intersección de la curva con el eje X. Ampliar la escala en eje X para facilitar la lectura del valor de la raíz.

Un método alternativo consiste en:

1.- Reordenar la ecuación, de ser necesario, para hacer que la ecuación sea más simple. Hacer cada lado de la ecuación igual a una función, así se obtendrán 2 funciones: g(x) y h(x).

2.- Seleccionar varios valores de x y calcular el valor de las funciones g(x) y h(x). Hacer el grafico de las funciones g(x) y h(x) y examinar su comportamiento. Seleccionar puntos adicionales si se requieren para obtener un cruce entre las curvas de las dos funciones.

3.- Observar la gráfica y determinar el valor de la raíz en la intersección de las curvas de las funciones g(x) y h(x). Ampliar la escala en eje X para facilitar la lectura del valor de la raíz.

 

Bibliografía

Grewa, B. S. : Higher Engineering Mathematics, Thirthy Fourth Edition, 1998. KHANA PUBLISHERS, Delhi, India.

Brito, L.: Métodos Numéricos, Raíces de Funciones, Amazon.

https://www.amazon.com/dp/B01N9V29HM

https://www.amazon.com.mx/dp/B01N9V29HM

Metodos Numericos Raices tumb 2

Raíces de Funciones y Métodos

 

Concepto

Una raíz de una función resulta de resolver ecuaciones como la siguiente:

224=(4x+2)*2x*(1+x).

Si ubicamos todos los elementos en un solo lado de la ecuación, obtendremos una expresión que es una función de la variable x.

La función es: f(x)=(4x+2)*2x*(1+x)-224

Si queremos obtener las raíces de la ecuación, igualamos la función a cero y resolvemos para obtener los valores de x que hacen que el valor de la función sea cero. Los valores de x que hacen que la función f(x)=0, se denominan raíces de la función f(x).

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Esta función podemos asociarla con el cálculo del volumen de un paralelepípedo de dimensiones (4x + 2), 2x y (1 + x), donde el volumen es de 224 unidades cubicas, y deseamos calcular el valor de x que produce este volumen. Al final tenemos una función cubica que representa esta igualdad. En la figura anterior se observa la gráfica de la función. Se observa que la curva de la función intersecta el eje X en un punto que esta entre 2 y 3.

otro ejemplo que podemos mostrar sobre cómo se origina una función, lo constituye la obtención de la raíz cuadrada de un numero m. Comenzamos con una ecuación, donde hacemos que la raíz cuadrada de un número m es igual a un valor x, movemos todos los elementos de la ecuación hacia el lado derecho y hemos convertido la ecuación en una función de x, que podemos utilizar para calcular la raíz cuadrada de un numero m.

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De la misma manera podríamos crear una función para la raíz cubica, o la raíz de cualquier orden. En general cualquier ecuación puede ser transformada en una función de forma que podemos obtener sus raíces, las cuales representan valores que permiten que estas ecuaciones se cumplan.

Así como estas simples ecuaciones matemáticas, podemos encontrar en ciencia y en las diferentes ramas de la ingeniería aplicaciones donde podemos formular ecuaciones, las cuales podemos transformar en funciones y encontrar soluciones a los problemas planteados encontrando las raíces de dichas funciones.

Métodos

Existen diversos métodos para encontrar las raíces de una función, entre estos tenemos:

Métodos Gráficos

Métodos Analíticos

Métodos Algebraicos

Métodos Numéricos

 

Bibliografía

Brito, Luis. Métodos Numéricos, Raíces de Funciones. Amazon, 2017.

https://www.amazon.com/dp/B01N9V29HM

Metodos Numericos Raices tumb 2