Suma de Paralelogramos

Integración Numérica: Método de Paralelogramos

Suma de paralelogramos

Este es el procedimiento más sencillo, fue la aproximación que utilizó Newton cuando desarrolló el cálculo integral.

Ya vimos que las sumas de Riemann son una aproximación adecuada para el cálculo de las áreas debajo de una función f(x) en el intervalo [a, b]. Si dividimos el intervalo entre a y b en n subintervalos de igual tamaño, se generarán n tiras rectangulares de igual ancho, h, ahora de acuerdo a la definición de Riemann, la altura de referencia en cada tira, puede ser cualquier valor de la función f(x), dentro del sub intervalo. Pero utilizar cualquier valor dentro del subintervalo, a pesar de que es teóricamente correcto, no es práctico desde el punto de vista de la automatización y estandarización del proceso.

Si la curva de función f(x) tiene pendiente positiva dentro del intervalo [a, b], si tenemos un sub intervalo [xi, xi+1] y tomamos como valor de la función el valor del extremo izquierdo de un sub intervalo f(xi), el área estimada por la suma de los paralelogramos será menor que el área verdadera. Entonces se obtendrá una aproximación por defecto al valor de la integral en el intervalo [a, b]. Esto se puede ver en la gráfica, donde los paralelogramos no cubren por completo el área debajo de la curva en el intervalo [2, 4]. En esta figura se utilizaron solamente dos sub intervalos para facilitar la visualización del concepto.

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Si en lugar de utilizar el valor de la función en el extremo izquierdo del sub intervalo, utilizamos el valor de la función en el extremo derecho del sub intervalo, f(xi+1), entonces el área de los paralelogramos será mayor que el área verdadera. Entonces se obtendrá una aproximación por exceso al valor de la integral en el intervalo [a, b]. Esto se puede ver en la gráfica, donde los paralelogramos sobrepasan el área debajo de la curva en el intervalo [2, 4].

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Ahora podríamos utilizar cualquier punto dentro del sub intervalo [xi, xi+1], pero para fines prácticos utilizaremos el punto medio del sub intervalo, xm= 1/2* (xi + xi+1) y utilizaremos el valor de la función en este punto, f(xm) como el valor de la altura del paralelogramo, en este caso se observa que la mitad del paralelogramo está en exceso y la otra mitad está en defecto, lo que produce cierto balance entre exceso y defecto, como se muestra en la figura.

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En resumen, se puede decir que las opciones para el valor de la función f(x) en el sub intervalo son tres:

1.- En el extremo izquierdo del sub intervalo, se utiliza f(xi), es una aproximación por defecto, si la pendiente es positiva en el intervalo.

2.- En el extremo derecho del sub intervalo, se utiliza f(xi+1), es una aproximación por exceso, si la pendiente es positiva en el intervalo.

3.- En el punto medio del sub intervalo, f(xm), donde xm=1/2* (xi + xi+1), es una aproximación que tiene cierto nivel de balance.

A continuación, revisaremos los algoritmos utilizados para cada una de estas opciones y presentaremos algunos procedimientos en VBA Excel para la aplicación de los mismos.

Sumatorias Utilizando Ciclos For – Next

Para realizar sumatoria en VBA puede utilizarse un ciclo For – Next, el cual tiene la siguiente forma:

Hay que crear 2 variables una variable para almacenar el valor de la suma y una variable para que funcione como contador.

Por ejemplo, la variable i para ser el contador del ciclo For – Next y la variable Suma para almacenar la suma.

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La estructura del ciclo For – Next consta de un contador, en este caso la variable i, que comienza con un valor inicial, a y un valor final, b, antecedido por el comando To. Luego está el comando Step, para introducir el valor del delta que hay que ir sumando al valor de i hasta alcanzar el valor b. El comando Step es opcional, si no se coloca toma como valor predeterminado uno. Para finalizar el ciclo se utiliza el comando Next, [i], donde es opcional colocar el nombre de la variable utilizada como contador del ciclo.

Los valores de a, b y st no necesitan ser número enteros, son números reales, que podrían tener tipo de dato Integer o Long (en el caso de que utilicemos valores enteros en la variable utilizada como contador); Single o Double ( en el caso de utilizar valores reales). Recomendándose el uso de Double.

Como en lugar del valor del delta x, por lo general se utiliza el número de sub intervalos entre a y b, n. Entonces delta x = (b – a )/n

Caso 1: Valor de la función en el extremo izquierdo.

El procedimiento a seguir es el siguiente:

1.- Definir la función a la cual se le va a calcular la integral

2.- Definir el intervalo [a, b]

3.- Establecer el número de sub intervalos, n (número de paneles).

4.- Calcular el valor de delta x=(b-a)/n.

5.- Establecer el ciclo For – Next desde a hasta (b-delta x), con paso (step) igual a delta x.

6.- Calcular el Producto de f(xi)*delta x para cada sub intervalo.

7. Efectuar la suma de Riemann de todos los productos de f(xi)*delta x, el resultado es la aproximación de la integral en el intervalo [a, b].

A continuación, se muestra una función definida por el usuario (UDF) para estimar el valor de la integral usando el valor de la función en el punto izquierdo del sub intervalo. Se ha creado una función para insertar la función a la que se le va a calcular integral.

Public Function ff1(x As Double) As Double

ff1 = x ^ 2 + 3

End Function

###

Public Function SumaP1(a As Double, b As Double, n As Long) As Double

Dim deltax As Double

deltax = (b – a) / n

Dim fi1 As Double

Dim sumpanel As Double

Dim i As Double

sumapanel = 0

For i = a To (b – deltax) Step deltax

fi1 = ff1(i)

sumapanel = sumapanel + fi1 * deltax

Next i

SumaP1 = sumapanel

End Function

Caso 2: Valor de la función en el extremo derecho.

El procedimiento a seguir es el siguiente:

1.- Definir la función a la cual se le va a calcular la integral

2.- Definir el intervalo [a, b]

3.- Establecer el número de sub intervalos, n (número de paneles).

4.- Calcular el valor de delta x=(b-a)/n.

5.- Establecer el ciclo For – Next desde (a + delta x) hasta b, con paso (step) igual a delta x.

6.- Calcular el Producto de f(xi+1)*delta x para cada sub intervalo.

7. Efectuar la suma de Riemann de todos los productos de f(xi+1)*delta x, el resultado es la aproximación de la integral en el intervalo [a, b].

A continuación, se muestra una función definida por el usuario (UDF) para estimar el valor de la integral usando el valor de la función en el punto derecho del sub intervalo. Se ha creado una función para insertar la función a la que se le va a calcular la integral.

Public Function ff1(x As Double) As Double

ff1 = x ^ 2 + 3

End Function

###

Public Function SumaP2(a As Double, b As Double, n As Long) As Double

Dim deltax As Double

deltax = (b – a) / n

Dim fi1 As Double

Dim sumpanel As Double

Dim i As Double

sumapanel = 0

For i = (a + deltax) To b Step deltax

fi1 = ff1(i)

sumapanel = sumapanel + fi1 * deltax

Next i

SumaP2 = sumapanel

End Function

Caso 3: Valor de la función en el punto medio del intervalo.

El procedimiento a seguir es el siguiente:

1.- Definir la función a la cual se le va a calcular la integral

2.- Definir el intervalo [a, b]

3.- Establecer el número de sub intervalos, n (número de paneles).

4.- Calcular el valor de delta x=(b-a)/n.

5.- Establecer el ciclo For – Next desde a hasta (b – delta x), con paso (step) igual a delta x.

6.- Calcular el punto medio del intervalo xm=(xi +xi+1)/2

6.- Calcular el Producto de f(xm)*delta x para cada sub intervalo.

7. Efectuar la suma de Riemann de todos los productos de f(xm)*delta x, el resultado es la aproximación de la integral en el intervalo [a, b].

A continuación, se muestra una función definida por el usuario (UDF) para estimar el valor de la integral usando el valor de la función en el punto derecho del sub intervalo. Se ha creado una función para insertar la función a la que se le va a calcular la integral.

Public Function ff1(x As Double) As Double

ff1 = x ^ 2 + 3

End Function

###

Public Function SumaP3(a As Double, b As Double, n As Long) As Double

Dim deltax As Double

deltax = (b – a) / n

Dim fi1 As Double

Dim sumpanel As Double

Dim i As Double

Dim m As Double

sumapanel = 0

For i = a To (b – deltax) Step deltax

m = (i + (i + deltax)) / 2

fi1 = ff1(m)

sumapanel = sumapanel + fi1 * deltax

Next i

SumaP3 = sumapanel

End Function

Comparación entre Casos

Para evaluar los 3 casos estudiados para la aproximación del valor de la integral se está utilizando la función f(x)= x^2+3. A continuación se muestra el valor analítico de la integral en el intervalo [0, 5].

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Cuando se utiliza el valor de la función en los puntos extremos de los sub intervalos se obtiene una aproximación a la integral que puede ser por defecto, área menor que el área bajo la curva; o por exceso, área mayor que el área bajo la curva. Cuando se utiliza el valor de la función en el punto medio de los sub intervalos, se obtiene un balance entre las áreas en exceso y defecto, y la aproximación está bastante cerca del valor real de la integral, aún con un número pequeño de sub intervalos (n). En la figura se grafican el valor de las aproximaciones (eje de las Y) en función del número de sub intervalos utilizados (eje de las X), se muestran los tres casos, la curva de color azul, representando la aproximación por defecto y la curva de color rojo representando la aproximación en balance calculada en el punto medio de los sub intervalos y la curva de color naranja, representando la aproximación por exceso. Se observa que las aproximaciones por exceso y por defecto son simétricas y requieren más de 1000 sub intervalos para alcanzar valores más cercanos a la aproximación obtenida en el punto medio.

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Al revisar la desviación porcentual, de las aproximaciones con respecto al valor analítico, se observa como la aproximación al utilizar el punto medio de los sub intervalos se acerca al valor analítico, con relativamente pocos subintervalos, n.

Bibliografía

Métodos Numéricos: Integración Numérica

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Suma de Rienmann

Suma de Riemann

Cuando se escucha hablar de integrales, las personas que han tenido algún contacto con el cálculo integral, casi automáticamente, lo asocian al valor de un área, esto quizás porque este fue uno de los primeros usos, que se le dio a esta herramienta del cálculo. A pesar de que el cálculo fue inventado por matemáticos como Isaac Newton y Gottfried Leibniz en el siglo XVII y desarrollado por una gran cantidad de matemáticos a partir de esa fecha, se conoce que Arquímedes manejaban un método, llamado de exhausción, que podría, muy bien, considerarse un antecesor al cálculo de integrales.

Newton introdujo la aproximación del cálculo de áreas debajo de curvas, utilizando rectángulos inscritos y rectángulos circunscritos, definiendo el concepto de que la igualdad en la relación entre las áreas de los rectángulos circunscritos e inscritos y que a medida que el ancho de las tiras rectangulares disminuye y el número de tiras aumenta al infinito, ambas áreas serán iguales y serán iguales al área debajo la curva.

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La aproximación será más cercana al valor real del área irregular a medida que se aumenta el número de tiras rectangulares que se inscriben dentro del área.

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La aproximación al área irregular es la suma de las áreas de todos los rectángulos inscritos dentro del área.

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Donde l es longitud de la tira rectangular y h es el ancho de la tira. El ancho de las tiras puede ser igual o ser diferentes para cada tira.

Esas áreas son el sentido general simplemente un número, y su interpretación dependerá de que representan las variables l y h, por ejemplo:

Si l representa longitud y h representa ancho, entonces el área representa Area.

Si l representa velocidad y h representa un delta tiempo, entonces el área es Distancia.

Si l representa la tasa de producción y h representa un delta tiempo, entonces el área representa Producción Acumulada.

Si l representa la potencia y h representa un delta tiempo, entonces el área representa la Energía Consumida.

En términos generales l es una variable dependiente, que puede ser definida como una función f, de la variable dependiente. Por lo general utilizamos para la variable independiente las letras x, y algunas veces la letra t. Para la variable dependiente utilizamos la letra y=f(x).

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La expresión a la derecha de la ecuación es lo que se conoce como una Suma de Riemann.

Definición

Supongamos que la función f(x) está definida para cualquier valor x en el intervalo [a, b]. La suma de Riemann para f(x) en el intervalo [a, b] es una expresión de la forma

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El intervalo [a, b] ha sido dividido en n sub intervalos cuyas dimensiones son:

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Una vez que la función f(x) ha sido definida y se ha definido un intervalo, una suma de Riemann se determina por la siguiente información.

1.- Una fragmentación del intervalo original, dividido en sub intervalos. Las dimensiones de los sub intervalos pueden ser iguales o diferentes.

2.- Un punto de muestreo para cada sub intervalo, el cual determina el valor de la función en cada sub intervalo.

Una suma de Riemann para la función f(x) es la suma de los productos de los valores de delta x y los valores de y=f(x).

Notación de Sumatoria

Cuando el número de sub intervalos es grande resulta inconveniente expresar la suma de Riemann como la suma de todos los elementos, por lo que se sustituye por un símbolo de sumatoria.

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Así que una sumatoria de los productos de f(x) por delta x, en el intervalo [a, b] puede ser expresada de la siguiente forma:

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Bibliografía

Brito, L: Métodos Numéricos: Integración Numérica

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Introducción a la Integración Numérica

Integración Numérica, Una Introducción

Antes de la invención de la geometría analítica y el cálculo en el siglo XVII por matemáticos como Fermat, Descartes (geometría analítica); Newton y Leibniz (cálculo). El cálculo de las áreas se abordaba completamente mediante métodos puramente geométricos. El cálculo de las áreas de figuras poligonales no constituía ningún problema, así que era materia conocida y muy utilizada el cálculo de triángulos, cuadrados, rectángulos, trapecios, pentágonos, hexágonos y en general cualquier polígono. Conseguir el área de figuras, que en lugar de segmentos rectos, estuviesen formado por curvas presentaban cierto problema, así que el conseguir el área de figuras curvas comenzó a definirse como un problema de cuadratura. Conseguir el área de un círculo se conocía como la cuadratura del círculo. Conseguir el área de una parábola limitada por un segmento se conocía como cuadratura de la parábola.

Los antecedentes a la cuadratura de curvas se pueden encontrar en el método de exhausción utilizado por Arquímedes para obtener el área de una parábola limitada por un segmento. El método utilizado por Arquímedes consistió en circunscribir dentro de la parábola una serie de triángulos cada vez más pequeños, hasta que estos agotaran el área de la parábola. A pesar de que existe en el fondo una filosofía de ir sumando áreas inscritas dentro de las figuras curvas, en ese momento no existían las herramientas matemáticas como para considerar este método como un método general para el cálculo de áreas para cualquier tipo de curvas.

En el siglo XVII se desarrollaron algunas herramientas matemáticas, como la geometría cartesiana y el cálculo, que permitieron introducir conceptos como el de función, que permitieron visualizar las curvas como un conjunto de coordenadas (x, y), donde y=f(x). Newton aproximó el área debajo de una curva utilizando una serie de rectángulos inscritos y circunscritos a la curva, donde cada rectángulo tenía una altura y=f(x) y donde el ancho era un delta x, definió que a medida que el ancho de los rectángulos se hacía más pequeño y el número de rectángulo aumentaba al infinito la relación entre las áreas de los rectángulos inscritos y circunscrito se aproximaba a la unidad y las áreas se aproximaban al área bajo la curva.

Posteriormente se desarrolló el concepto de la integral de una función como un proceso de anti diferenciación, que permitió obtener el valor de la integral (área bajo la curva) de forma analítica, sin necesidad de tener que recurrir a la sumatoria de elementos.

A pesar que existe una fórmula analítica de obtener la integral definida de una función, cuando se utilizan programas numéricos, no es fácil obtener una función que represente la anti derivada de la función a integrar, aún para funciones muy simples. Por otra parte, existen funciones que tienen integrales analíticas muy complejas.

Con la finalidad de obtener la integral definida de funciones de una forma general sin necesidad de obtener la antiderivada de la función existen una serie de métodos, que pueden agruparse bajo el término de cuadraturas. Hay básicamente dos tipos de cuadratura: El primero es utilizando las Series de Taylor, del cual se deriva la fórmula de Newton Cotes, la cual dependiendo del número de términos utilizado se obtienen las diferentes fórmulas como la trapezoidal y las reglas de Simpson 1/3 y 3/8. El otro tipo de cuadratura utiliza los polinomios ortogonales, entre los cuales se encuentran los de Legendre, Laguerre, Chevishev, y otros, Un ejemplo de este tipo de cuadraturas es la cuadratura de Gauss.

 

Bibliografía

Métodos Numéricos: Integración Numérica

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Raíces de Funciones, Métodos Analíticos

Métodos Analíticos

En los métodos analíticos existe una formula, o grupos de fórmulas, no iterativas que permiten el cálculo de las raíces de la función.

Función polinómica de grado 1, línea recta

En una función lineal f(x)=m*x + b existe una sola raíz, la cual puede obtenerse aplicando la siguiente formula:

f(x)=0=mx+b, tiene raíz igual a x = -b/m

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Función polinómica de segundo grado, Parábola  

Existe un método analítico para polinomios de segundo grado, que es la famosa ecuación cuadrática que la mayoría hemos estudiado en el colegio. 

En la siguiente figura se presenta el método analítico para encontrar la solución de funciones polinómicas de segundo grado.

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Función polinómica de tercer grado, Cubica.

Para polinomios de tercer grado también existe un método analítico, el cual es un poco más complicado que el utilizado para polinomios de segundo grado, sin embargo, todavía es manejable. En las siguientes figuras se presentan las ecuaciones que se utilizan.

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En la literatura se pueden conseguir diferentes conjuntos de ecuaciones para resolver las raíces de las ecuaciones cubicas, aquí les muestro las que me parecen más sencillas de manejar. Aunque a decir verdad todas funcionan muy bien, solamente son variaciones algebraicas de las mismas formulas.

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Dependiendo de los valores de la variable D, tenemos tres casos. Caso 1 D = 0, Caso 2 D > 0 y Caso 3 D <0.

En el caso 1: D=0, se tienen tres raíces reales, al menos dos son iguales.

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En el caso 2: D>0, se tiene 1 raíz real y dos raíces complejas.

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En el caso 3: D <0, se tienen 3 raíces reales diferentes.

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Para polinomios de orden superiores existen métodos analíticos muy complejos, que los hace poco prácticos de utilizar.

 

Bibliografía

Brito, L.: Métodos Numéricos Raíces de Funciones: Como calcular raíces de funciones utilizando métodos numéricos (Spanish Edition), Amazon,

https://www.amazon.com/dp/B01N9V29HM

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Raíces de Funciones, Métodos Gráficos

 

Métodos Gráficos

Este método es muy simple de implementar y resulta muy intuitivo de comprender. Simplemente hay que construir la gráfica de la función y directamente mediante inspección se puede determinar el punto de corte de la gráfica de la función f(x) con el eje X. El inconveniente es que este valor dependerá de la apreciación de la gráfica, dependiendo del tamaño de la escala se obtendrá una aproximación.

Este método se puede utilizar como un paso previo a la utilización de un método numérico, para tener una imagen completa de como se comporta la función y optimizar el uso de otros métodos más precisos.

En la siguiente figura se muestra la gráfica de una función derivada de una ecuación. Se han calculado los valores de la función entre 0 y 2.25. De los valores calculados se observa que existe un cambio de signo entre x= 1.25 (-) y x= 1.50 (+). Inspeccionando la gráfica de la función se observa que el punto de intersección esta alrededor de 1.4.

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Otra forma de proceder es utilizar cada lado de la ecuación y crear dos funciones. En un lado de la ecuación podemos dejar el termino en x y la constante. Así en lugar de escribir f(x)=0, escribimos g(x)=h(x), y graficamos ambas funciones en el mismo gráfico, y observamos la intersección de ambas funciones. Este valor corresponde con la raíz de la función f(x).

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Aquí en esta figura hemos hecho una ampliación y podemos observar que la raíz de la función f(x), la cual corresponde a la intersección de las curvas de las funciones g(x) y h(x) está alrededor de 1.44.

En resumen, el método gráfico es muy sencillo de aplicar, sin embargo, es de muy poca utilidad práctica, debido a que no permite su automatización.

Metodología

1.- Si se tiene una ecuación expresarla como una función f(x). Para eso se tienen que agrupar todos los elementos en un solo lado de la ecuación. Esta expresión es igual a la función.

2.- Seleccionar varios valores de x y calcular el valor de la función. Hacer el grafico de f(x) y examinar su comportamiento. Seleccionar puntos adicionales, si se requieren, para obtener un cruce de la curva de la función f(x) con eje X.

3.- Observar la gráfica y determinar el valor de la raíz en la intersección de la curva con el eje X. Ampliar la escala en eje X para facilitar la lectura del valor de la raíz.

Un método alternativo consiste en:

1.- Reordenar la ecuación, de ser necesario, para hacer que la ecuación sea más simple. Hacer cada lado de la ecuación igual a una función, así se obtendrán 2 funciones: g(x) y h(x).

2.- Seleccionar varios valores de x y calcular el valor de las funciones g(x) y h(x). Hacer el grafico de las funciones g(x) y h(x) y examinar su comportamiento. Seleccionar puntos adicionales si se requieren para obtener un cruce entre las curvas de las dos funciones.

3.- Observar la gráfica y determinar el valor de la raíz en la intersección de las curvas de las funciones g(x) y h(x). Ampliar la escala en eje X para facilitar la lectura del valor de la raíz.

 

Bibliografía

Grewa, B. S. : Higher Engineering Mathematics, Thirthy Fourth Edition, 1998. KHANA PUBLISHERS, Delhi, India.

Brito, L.: Métodos Numéricos, Raíces de Funciones, Amazon.

https://www.amazon.com/dp/B01N9V29HM

https://www.amazon.com.mx/dp/B01N9V29HM

Metodos Numericos Raices tumb 2

Raíces de Funciones y Métodos

 

Concepto

Una raíz de una función resulta de resolver ecuaciones como la siguiente:

224=(4x+2)*2x*(1+x).

Si ubicamos todos los elementos en un solo lado de la ecuación, obtendremos una expresión que es una función de la variable x.

La función es: f(x)=(4x+2)*2x*(1+x)-224

Si queremos obtener las raíces de la ecuación, igualamos la función a cero y resolvemos para obtener los valores de x que hacen que el valor de la función sea cero. Los valores de x que hacen que la función f(x)=0, se denominan raíces de la función f(x).

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Esta función podemos asociarla con el cálculo del volumen de un paralelepípedo de dimensiones (4x + 2), 2x y (1 + x), donde el volumen es de 224 unidades cubicas, y deseamos calcular el valor de x que produce este volumen. Al final tenemos una función cubica que representa esta igualdad. En la figura anterior se observa la gráfica de la función. Se observa que la curva de la función intersecta el eje X en un punto que esta entre 2 y 3.

otro ejemplo que podemos mostrar sobre cómo se origina una función, lo constituye la obtención de la raíz cuadrada de un numero m. Comenzamos con una ecuación, donde hacemos que la raíz cuadrada de un número m es igual a un valor x, movemos todos los elementos de la ecuación hacia el lado derecho y hemos convertido la ecuación en una función de x, que podemos utilizar para calcular la raíz cuadrada de un numero m.

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De la misma manera podríamos crear una función para la raíz cubica, o la raíz de cualquier orden. En general cualquier ecuación puede ser transformada en una función de forma que podemos obtener sus raíces, las cuales representan valores que permiten que estas ecuaciones se cumplan.

Así como estas simples ecuaciones matemáticas, podemos encontrar en ciencia y en las diferentes ramas de la ingeniería aplicaciones donde podemos formular ecuaciones, las cuales podemos transformar en funciones y encontrar soluciones a los problemas planteados encontrando las raíces de dichas funciones.

Métodos

Existen diversos métodos para encontrar las raíces de una función, entre estos tenemos:

Métodos Gráficos

Métodos Analíticos

Métodos Algebraicos

Métodos Numéricos

 

Bibliografía

Brito, Luis. Métodos Numéricos, Raíces de Funciones. Amazon, 2017.

https://www.amazon.com/dp/B01N9V29HM

Metodos Numericos Raices tumb 2

Aplicación de seudo código de Lagrange

 

En el artículo anterior habíamos revisado el método Lagrange para interpolación. En este artículo presentaremos un procedimiento para realizar un programa para obtener el valor de f(x), correspondiente a un valor x, dado dos vectores de datos x y y=f(x). Leer más “Aplicación de seudo código de Lagrange”