Dividiendo Números Enteros con Puntos

 

Dividir es una operación que implica distribuir equitativamente una cantidad (dividendo) entre un número de contenedores (divisor), donde el resultado (cociente) es igual a la cantidad que le responde a cada contenedor. Si estamos hablando de la división en termino de números enteros, esta puede ser exacta, es decir, tiene residuo igual a cero, o puede ser inexacta, tiene residuo igual a un número entero mayor que cero y menor que el divisor.

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El dividendo, la cantidad que queremos repartir equitativamente puede representar cualquier cosa, puntos, monedas, caramelos, manzanas, granos, etc.

El divisor es el número de elementos, contenedores a los cuales les queremos distribuir el dividendo. El divisor puede representar, personas, vasijas, contenedores, etc.

El cociente es la cantidad igual que le toca a cada uno de los elementos del divisor. Representa igual que el dividendo, si el dividendo son manzanas, entonces el cociente representa el número de manzanas que le corresponde a cada uno de los elementos del divisor.

Podemos visualizar una división como una repartición, como la que se ven en las películas de piratas cuando dividían un tesoro o como en las películas de gánsteres cuando dividían el botín; pero claro sin las trampas de uno para ti y dos para mí. En una división la repartición es equitativa, igual para cada uno. Así que podemos simular una división haciendo una repartición del dividiendo elemento por elemento a cada uno de los miembros del divisor hasta que el resto sea igual a cero o exista un resto menor que el divisor.

Una forma es utilizando puntos. Colocamos el divisor como un grupo de líneas igual al divisor, así si el divisor es 3 colocamos 3 líneas.

Luego vamos distribuyendo por rondas, colocando una raya vertical que cruce a las rayas horizontales para representar una ronda. En la intersección colocamos un punto.

Se colocan rayas verticales adicionales (rondas) y se continua hasta que se hayan distribuido todos los puntos que representan el dividendo. Si al final no se tienen suficientes puntos para completar una ronda, este remanente de puntos es el residuo.

En la siguiente figura se muestra una división utilizando puntos.

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Los 24 puntos se distribuyeron entre 3, utilizando 8 rondas de 3 puntos, con lo que 24 / 3 =8. Si se estuviesen repartiendo 24 monedas, a cada uno le tocarían 8 monedas.

También podemos dividir restando, donde en cada ronda repartimos una cantidad igual al divisor y restamos la cantidad repartida del dividendo, el resultado es el resto. En la segunda ronda repartimos nuevamente una cantidad igual al divisor y la restamos del resto anterior hasta que el resto sea igual a cero, o sea un residuo menor que el divisor.

El resultado de la división será igual al número de rondas repartidas, en este caso 8.

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Scilab, Operaciones Básicas con Matrices–Parte II

En el artículo anterior habíamos introducido el concepto de matriz, y la forma en que se crean en Scilab y algunas operaciones básicas. En este artículo continuaremos con la descripción de operaciones básicas con matrices.

Transpuesta de una matriz

La transposición de una matriz significa que las filas se convierten en columna y las columnas en filas. El operador de transposición es el apostrofe (‘), el cual es colocado después de la variable que representa la matriz. Si A es una matriz, entonces A’ es la transpuesta de la matriz A.

Ai,j entonces A’j,i

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Determinante de una Matriz

Para obtener el determinante de una matriz se utiliza la función det(matriz), donde la matriz debe ser cuadrada, es decir el número de filas debe ser igual al número de columnas.

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Inversa de una Matriz

La inversa de una matriz A es una matriz que se denota como A-1 y la fórmula para calcularla se muestra en la siguiente figura.

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A*A-1 = I, donde I es la matriz identidad. Para determinar la inversa de una matriz se utiliza la función inv(matriz).

La matriz Identidad es una matriz diagonal de 1, y todos los demás elementos de la matriz igual a 0.

Como los valores de la matriz se obtienen mediante el cálculo numérico de doble precisión en lugar de ceros se muestran valores como 2.220D-16.

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División de Matrices

La División de matrices en realidad es una multiplicación de una matriz por el inverso de la otra. En este sentido para dividir matrices estas tienen que cumplir con la regla básica de la multiplicación de matrices:

A(mxp) y B(pxn) El número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda matriz.

A*B es posible

B(pxn)*A(mxp) no es posible porque el número de columnas de la primera matriz no es igual que el número de filas de la segunda

Dependiendo de la colocación de la matriz inversa, en la primera o segunda posición existen dos tipos de división:

Si la inversa de la matriz está en la primera posición tenemos la división izquierda (\) y si la inversa de la matriz está en la segunda posición tenemos la división derecha (/)

La división izquierda (\) se aplica a la solución de problemas como ecuaciones simultaneas y análisis de regresión. Este tipo de problemas resulta de la solución de ecuaciones del siguiente tipo.

A*X=B

A-1*A*X = A-1*B

X = A-1*B

X = A\ B

Esto corresponde a la solución de ecuaciones lineales simultaneas.

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La división derecha resulta de problemas del tipo:

XA = B

X*A* A-1=B* A-1

X=B* A-1

X = B / A