Introducción a la Integración Numérica

Integración Numérica, Una Introducción

Antes de la invención de la geometría analítica y el cálculo en el siglo XVII por matemáticos como Fermat, Descartes (geometría analítica); Newton y Leibniz (cálculo). El cálculo de las áreas se abordaba completamente mediante métodos puramente geométricos. El cálculo de las áreas de figuras poligonales no constituía ningún problema, así que era materia conocida y muy utilizada el cálculo de triángulos, cuadrados, rectángulos, trapecios, pentágonos, hexágonos y en general cualquier polígono. Conseguir el área de figuras, que en lugar de segmentos rectos, estuviesen formado por curvas presentaban cierto problema, así que el conseguir el área de figuras curvas comenzó a definirse como un problema de cuadratura. Conseguir el área de un círculo se conocía como la cuadratura del círculo. Conseguir el área de una parábola limitada por un segmento se conocía como cuadratura de la parábola.

Los antecedentes a la cuadratura de curvas se pueden encontrar en el método de exhausción utilizado por Arquímedes para obtener el área de una parábola limitada por un segmento. El método utilizado por Arquímedes consistió en circunscribir dentro de la parábola una serie de triángulos cada vez más pequeños, hasta que estos agotaran el área de la parábola. A pesar de que existe en el fondo una filosofía de ir sumando áreas inscritas dentro de las figuras curvas, en ese momento no existían las herramientas matemáticas como para considerar este método como un método general para el cálculo de áreas para cualquier tipo de curvas.

En el siglo XVII se desarrollaron algunas herramientas matemáticas, como la geometría cartesiana y el cálculo, que permitieron introducir conceptos como el de función, que permitieron visualizar las curvas como un conjunto de coordenadas (x, y), donde y=f(x). Newton aproximó el área debajo de una curva utilizando una serie de rectángulos inscritos y circunscritos a la curva, donde cada rectángulo tenía una altura y=f(x) y donde el ancho era un delta x, definió que a medida que el ancho de los rectángulos se hacía más pequeño y el número de rectángulo aumentaba al infinito la relación entre las áreas de los rectángulos inscritos y circunscrito se aproximaba a la unidad y las áreas se aproximaban al área bajo la curva.

Posteriormente se desarrolló el concepto de la integral de una función como un proceso de anti diferenciación, que permitió obtener el valor de la integral (área bajo la curva) de forma analítica, sin necesidad de tener que recurrir a la sumatoria de elementos.

A pesar que existe una fórmula analítica de obtener la integral definida de una función, cuando se utilizan programas numéricos, no es fácil obtener una función que represente la anti derivada de la función a integrar, aún para funciones muy simples. Por otra parte, existen funciones que tienen integrales analíticas muy complejas.

Con la finalidad de obtener la integral definida de funciones de una forma general sin necesidad de obtener la antiderivada de la función existen una serie de métodos, que pueden agruparse bajo el término de cuadraturas. Hay básicamente dos tipos de cuadratura: El primero es utilizando las Series de Taylor, del cual se deriva la fórmula de Newton Cotes, la cual dependiendo del número de términos utilizado se obtienen las diferentes fórmulas como la trapezoidal y las reglas de Simpson 1/3 y 3/8. El otro tipo de cuadratura utiliza los polinomios ortogonales, entre los cuales se encuentran los de Legendre, Laguerre, Chevishev, y otros, Un ejemplo de este tipo de cuadraturas es la cuadratura de Gauss.

 

Bibliografía

Métodos Numéricos: Integración Numérica

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