Raíces de Funciones, Métodos Analíticos

Métodos Analíticos

En los métodos analíticos existe una formula, o grupos de fórmulas, no iterativas que permiten el cálculo de las raíces de la función.

Función polinómica de grado 1, línea recta

En una función lineal f(x)=m*x + b existe una sola raíz, la cual puede obtenerse aplicando la siguiente formula:

f(x)=0=mx+b, tiene raíz igual a x = -b/m

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Función polinómica de segundo grado, Parábola  

Existe un método analítico para polinomios de segundo grado, que es la famosa ecuación cuadrática que la mayoría hemos estudiado en el colegio. 

En la siguiente figura se presenta el método analítico para encontrar la solución de funciones polinómicas de segundo grado.

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Función polinómica de tercer grado, Cubica.

Para polinomios de tercer grado también existe un método analítico, el cual es un poco más complicado que el utilizado para polinomios de segundo grado, sin embargo, todavía es manejable. En las siguientes figuras se presentan las ecuaciones que se utilizan.

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En la literatura se pueden conseguir diferentes conjuntos de ecuaciones para resolver las raíces de las ecuaciones cubicas, aquí les muestro las que me parecen más sencillas de manejar. Aunque a decir verdad todas funcionan muy bien, solamente son variaciones algebraicas de las mismas formulas.

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Dependiendo de los valores de la variable D, tenemos tres casos. Caso 1 D = 0, Caso 2 D > 0 y Caso 3 D <0.

En el caso 1: D=0, se tienen tres raíces reales, al menos dos son iguales.

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En el caso 2: D>0, se tiene 1 raíz real y dos raíces complejas.

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En el caso 3: D <0, se tienen 3 raíces reales diferentes.

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Para polinomios de orden superiores existen métodos analíticos muy complejos, que los hace poco prácticos de utilizar.

 

Bibliografía

Brito, L.: Métodos Numéricos Raíces de Funciones: Como calcular raíces de funciones utilizando métodos numéricos (Spanish Edition), Amazon,

https://www.amazon.com/dp/B01N9V29HM

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Raíces de Funciones, Métodos Gráficos

 

Métodos Gráficos

Este método es muy simple de implementar y resulta muy intuitivo de comprender. Simplemente hay que construir la gráfica de la función y directamente mediante inspección se puede determinar el punto de corte de la gráfica de la función f(x) con el eje X. El inconveniente es que este valor dependerá de la apreciación de la gráfica, dependiendo del tamaño de la escala se obtendrá una aproximación.

Este método se puede utilizar como un paso previo a la utilización de un método numérico, para tener una imagen completa de como se comporta la función y optimizar el uso de otros métodos más precisos.

En la siguiente figura se muestra la gráfica de una función derivada de una ecuación. Se han calculado los valores de la función entre 0 y 2.25. De los valores calculados se observa que existe un cambio de signo entre x= 1.25 (-) y x= 1.50 (+). Inspeccionando la gráfica de la función se observa que el punto de intersección esta alrededor de 1.4.

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Otra forma de proceder es utilizar cada lado de la ecuación y crear dos funciones. En un lado de la ecuación podemos dejar el termino en x y la constante. Así en lugar de escribir f(x)=0, escribimos g(x)=h(x), y graficamos ambas funciones en el mismo gráfico, y observamos la intersección de ambas funciones. Este valor corresponde con la raíz de la función f(x).

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Aquí en esta figura hemos hecho una ampliación y podemos observar que la raíz de la función f(x), la cual corresponde a la intersección de las curvas de las funciones g(x) y h(x) está alrededor de 1.44.

En resumen, el método gráfico es muy sencillo de aplicar, sin embargo, es de muy poca utilidad práctica, debido a que no permite su automatización.

Metodología

1.- Si se tiene una ecuación expresarla como una función f(x). Para eso se tienen que agrupar todos los elementos en un solo lado de la ecuación. Esta expresión es igual a la función.

2.- Seleccionar varios valores de x y calcular el valor de la función. Hacer el grafico de f(x) y examinar su comportamiento. Seleccionar puntos adicionales, si se requieren, para obtener un cruce de la curva de la función f(x) con eje X.

3.- Observar la gráfica y determinar el valor de la raíz en la intersección de la curva con el eje X. Ampliar la escala en eje X para facilitar la lectura del valor de la raíz.

Un método alternativo consiste en:

1.- Reordenar la ecuación, de ser necesario, para hacer que la ecuación sea más simple. Hacer cada lado de la ecuación igual a una función, así se obtendrán 2 funciones: g(x) y h(x).

2.- Seleccionar varios valores de x y calcular el valor de las funciones g(x) y h(x). Hacer el grafico de las funciones g(x) y h(x) y examinar su comportamiento. Seleccionar puntos adicionales si se requieren para obtener un cruce entre las curvas de las dos funciones.

3.- Observar la gráfica y determinar el valor de la raíz en la intersección de las curvas de las funciones g(x) y h(x). Ampliar la escala en eje X para facilitar la lectura del valor de la raíz.

 

Bibliografía

Grewa, B. S. : Higher Engineering Mathematics, Thirthy Fourth Edition, 1998. KHANA PUBLISHERS, Delhi, India.

Brito, L.: Métodos Numéricos, Raíces de Funciones, Amazon.

https://www.amazon.com/dp/B01N9V29HM

https://www.amazon.com.mx/dp/B01N9V29HM

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