Suma de Rienmann

Suma de Riemann

Cuando se escucha hablar de integrales, las personas que han tenido algún contacto con el cálculo integral, casi automáticamente, lo asocian al valor de un área, esto quizás porque este fue uno de los primeros usos, que se le dio a esta herramienta del cálculo. A pesar de que el cálculo fue inventado por matemáticos como Isaac Newton y Gottfried Leibniz en el siglo XVII y desarrollado por una gran cantidad de matemáticos a partir de esa fecha, se conoce que Arquímedes manejaban un método, llamado de exhausción, que podría, muy bien, considerarse un antecesor al cálculo de integrales.

Newton introdujo la aproximación del cálculo de áreas debajo de curvas, utilizando rectángulos inscritos y rectángulos circunscritos, definiendo el concepto de que la igualdad en la relación entre las áreas de los rectángulos circunscritos e inscritos y que a medida que el ancho de las tiras rectangulares disminuye y el número de tiras aumenta al infinito, ambas áreas serán iguales y serán iguales al área debajo la curva.

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La aproximación será más cercana al valor real del área irregular a medida que se aumenta el número de tiras rectangulares que se inscriben dentro del área.

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La aproximación al área irregular es la suma de las áreas de todos los rectángulos inscritos dentro del área.

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Donde l es longitud de la tira rectangular y h es el ancho de la tira. El ancho de las tiras puede ser igual o ser diferentes para cada tira.

Esas áreas son el sentido general simplemente un número, y su interpretación dependerá de que representan las variables l y h, por ejemplo:

Si l representa longitud y h representa ancho, entonces el área representa Area.

Si l representa velocidad y h representa un delta tiempo, entonces el área es Distancia.

Si l representa la tasa de producción y h representa un delta tiempo, entonces el área representa Producción Acumulada.

Si l representa la potencia y h representa un delta tiempo, entonces el área representa la Energía Consumida.

En términos generales l es una variable dependiente, que puede ser definida como una función f, de la variable dependiente. Por lo general utilizamos para la variable independiente las letras x, y algunas veces la letra t. Para la variable dependiente utilizamos la letra y=f(x).

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La expresión a la derecha de la ecuación es lo que se conoce como una Suma de Riemann.

Definición

Supongamos que la función f(x) está definida para cualquier valor x en el intervalo [a, b]. La suma de Riemann para f(x) en el intervalo [a, b] es una expresión de la forma

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El intervalo [a, b] ha sido dividido en n sub intervalos cuyas dimensiones son:

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Una vez que la función f(x) ha sido definida y se ha definido un intervalo, una suma de Riemann se determina por la siguiente información.

1.- Una fragmentación del intervalo original, dividido en sub intervalos. Las dimensiones de los sub intervalos pueden ser iguales o diferentes.

2.- Un punto de muestreo para cada sub intervalo, el cual determina el valor de la función en cada sub intervalo.

Una suma de Riemann para la función f(x) es la suma de los productos de los valores de delta x y los valores de y=f(x).

Notación de Sumatoria

Cuando el número de sub intervalos es grande resulta inconveniente expresar la suma de Riemann como la suma de todos los elementos, por lo que se sustituye por un símbolo de sumatoria.

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Así que una sumatoria de los productos de f(x) por delta x, en el intervalo [a, b] puede ser expresada de la siguiente forma:

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Bibliografía

Brito, L: Métodos Numéricos: Integración Numérica

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